{"id":450,"date":"2024-07-09T14:45:30","date_gmt":"2024-07-09T14:45:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/?p=450"},"modified":"2024-07-09T14:45:30","modified_gmt":"2024-07-09T14:45:30","slug":"flaecheninhalt-von-abgerundeten-rechtecken-berechnen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/2024\/07\/09\/flaecheninhalt-von-abgerundeten-rechtecken-berechnen\/","title":{"rendered":"Fl\u00e4cheninhalt von Abgerundeten Rechtecken berechnen"},"content":{"rendered":"

Ich hatte ja vor einiger Zeit angedeutet, dass ich im Zuge des Stahlbauprojektes „S4T“ relativ viele Sachen auch in Richtung Computergeometrie zu machen habe, daher auch Dinge, wie Fl\u00e4cheninhalt, etc. ermitteln muss.<\/p>\n

Eines dieser Aufgaben war es, den Fl\u00e4cheninhalt und den Umfang eines Rechteckrohres zu ermitteln. Dieses ist an den Ecken jeweils mit einem Radius ro (au\u00dfen) und ri (innen) abgerundet und besitzt eine Wandst\u00e4rke t, sowie H\u00f6he h und Breite b.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Nach kurzem \u00dcberlegen ist die Berechnung des Fl\u00e4cheninhaltes und Umfangs eigentlich gar nicht so schwer. Im Endeffekt ermitteln wir als erstes den Fl\u00e4cheninhalt der Au\u00dfenfl\u00e4che und anschlie\u00dfend der Innenfl\u00e4che und ziehen diese voneinander ab. \u00dcbrig bleibt dann der Fl\u00e4cheninhalt der „Wand“.
\nFangen wir mit dem Fl\u00e4cheninhalt der Au\u00dfenkontur an.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Woraus besteht so ein abgerundetes Rechteck? Im Endeffekt aus 4 Viertelkreisen und 3 Rechtecken. Die einzelnen Fl\u00e4chen habe ich mal markiert:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Grau markiert sind jeweils die Viertelkreise, dazu haben wir zwei gleich gro\u00dfe Rechtecke (rot)
\n\"R1, R2 \" mit jeweils \"b-2 \cdot r_{o}\" L\u00e4nge und \"r_{o}\" H\u00f6he und das gr\u00fcne Rechteck \"R3\" mit \"h-2 \cdot r_{o} \"H\u00f6he und \"b\" Breite.<\/p>\n

Mit Hilfe dieser Skizze wird es bedeutend einfacher den Fl\u00e4cheninhalt und Umfang auszurechnen.
\nBerechnen wir erst einmal die Fl\u00e4cheninhalte, die ergeben sich aus der Addition der Fl\u00e4cheninhalte der einzelnen Fl\u00e4chen.
\nDie vier Viertelkreise ergeben zusammen einen Vollkreis, daher kann die normale Formel zur Berechnung des Fl\u00e4cheninhalts eines Kreises genutzt werden:<\/p>\n

\" A_{kreis} = \pi \cdot r_{o}^{2}<\/p>\n

F\u00fcr die Rechtecke R1 und R2 ergibt sich jeweils:<\/p>\n

\" A_{R1/2} = ( b - 2 \cdot r_{o} ) \cdot r_{o} \"<\/p>\n

da wie oben bereits beschrieben die Rechtecke eine H\u00f6he von \" r_{o} \" und eine L\u00e4nge von \" b - 2 \cdot r_{o}\" besitzen.<\/p>\n

Last but not least wird der Fl\u00e4cheninhalt des dritten Rechtecks ermittelt:<\/p>\n

\" A_{R3} = b \cdot (h - 2 \cdot r_{o}) \"<\/p>\n

So haben wir alle Fl\u00e4cheninhalte, diese werden summiert, dann ergibt sich also folgende Gleichung:<\/p>\n

\"A_{außen} = A_{kreis} + A_{R1} + A_{R2} + A_{R3} \"<\/p>\n

\"A_{außen} = \pi \cdot r_{o}^{2} + 2 \cdot ( b - 2 \cdot r_{o} ) \cdot r_{o} + b \cdot (h - 2 \cdot r_{o}) \"<\/p>\n

Easy. Nun noch der Umfang. Der Umfang der 4 Viertelkreise ergibt wiederum den Umfang eines Vollkreises.<\/p>\n

\" U_{kreis} = 2 \cdot \pi \cdot r \"<\/p>\n

Nun werden noch jeweils die Au\u00dfenseiten der drei Rechtecke hinzuaddiert, d.h. je einmal die Breite von R1 und R2 (\"b - 2 \cdot r_{0}\") und zwei mal die H\u00f6he von R3 (\" h - 2 \cdot r_{0}\")<\/p>\n

Also ergibt sich :<\/p>\n

\" U_{außen} = 2 \cdot \pi \cdot r_{o} + 2 \cdot (b - 2 \cdot r_{o}) + 2 \cdot (h - 2 \cdot r_{o}) \"<\/p>\n

Das k\u00f6nnte man jetzt noch ausmultiplizieren, aber dazu bin ich gerade einfach zu faul.
\nIm Endeffekt haben wir so erst einmal Fl\u00e4cheninhalt und Umfang der Au\u00dfenkontur.
\nAuf gleiche Art und Weise kann man das auch mit dem inneren abgerundeten Rechteck machen. Hier ist zu beachten, dass Breite und H\u00f6he jeweils um \"2 \cdot t\" kleiner sind.
\nDaraus ergibt sich dann:<\/p>\n

\"A_{innen} = \pi \cdot r_{i}^{2} + 2 \cdot ( b - 2 \cdot t - 2 \cdot r_{i} ) \cdot r_{i} + (b - 2 \cdot t) \cdot (h - 2\cdot t - 2 \cdot r_{i}) \"
\n\"U_{innen} = 2 \cdot \pi \cdot r_{i} + 2 \cdot (b - 2 \cdot t - 2 \cdot r_{i}) + 2 \cdot (h - 2 \cdot t - 2 \cdot r_{i}) \"<\/p>\n

F\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt der Wandfl\u00e4che kann nun die Innenfl\u00e4che von der Au\u00dfenfl\u00e4che abgezogen werden.
\nWenn man dann noch die L\u00e4nge des Rohres hat, kann man so ganz einfach das „Materialvolumen“ mit der entsprechenden Dichte des Materials (z.B. 7,85 \"\frac {g}{cm^{2}}\") sogar das genaue Gewicht des Rohres ermittelt werden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ich hatte ja vor einiger Zeit angedeutet, dass ich im Zuge des Stahlbauprojektes „S4T“ relativ viele Sachen auch in Richtung Computergeometrie zu machen habe, daher auch Dinge, wie Fl\u00e4cheninhalt, etc. ermitteln muss. Eines dieser Aufgaben war es, den Fl\u00e4cheninhalt und den Umfang eines Rechteckrohres zu ermitteln. Dieses ist an den Ecken jeweils mit einem Radius […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[44],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/450"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=450"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/450\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":705,"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/450\/revisions\/705"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=450"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=450"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.cssec.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=450"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}